Fractali: Natura, Arta, Stiinta

In ziua de azi fractalii generati de computer sunt intalniti peste tot. De la fractal art la articole in cele mai serioase reviste de fizica, interesul pentru aceste structuri neobisnuite este in crestere. Unele dintre aceste forme exista numai in spatii geometrice abstracte, unele exista in natura (brocoli, copaci, corali) iar altele sunt folosite pentru a modela fenomene complexe cum sunt formarea norilor sau modul de functionare al retelei de vase capilare.

Inceputul. In martie 1980, unitatea centrala ultra-moderna a institutului de cercetare IBM Yorktown Heights din statul New York trimitea instructiuni unui dispozitiv de imprimare Tektronix. Acesta marca constiincios puncte in locuri neasteptate, iar atunci cand si-a oprit tacanitul, rezultatul semana cu o mana de praf  imprastiata pe foaia de hartie. Lui Benoit Mandelbrot nu ii venea sa creada. Realiza  importanta evenimentului, dar ce era mai exact? Imaginea semana cu o fotografie in alb si negru abia iesita din baia de developare. Era prima privire aruncata asupra a ceea ce avea sa devina un simbol in lumea fractalilor-multimea Mandelbrot.

Se intampla matematica experimentala prin excelenta, o apropiere catre domeniul in care matematicienii au mese de laborator asa cum au fizicienii si chimistii. Si ei faceau experimente. Se deschideau perspective noi. Era o eliberare din clima arida a succesiunii “definitie, teorema, demonstratie”, desi intoarcerea la rationamentul riguros se va fi intamplat aproape imediat.

Partea negativa a acestei abordari experimentale era lipsa unui fundament teoretic precedent imaginilor prelucrate. Experimentalistii navigau fara harta.  Mandelbrot a inventat cuvantul “fractal”, dar ce era un fractal de fapt? Exista o definitie precisa cum are in mod normal orice concept matematic? La inceput Mandelbrot nu a vrut o astfel de definitie.  Nu a vrut sa distruga magia acestei experiente formuland o definitie eficienta care ar putea fi inadecvata sau ar putea limita. Notiunea de fractal, gandea el, ca si un vin bun, are nevoie de timp inainte de a fi “imbuteliat”.

Multimea Mandelbrot. Mandelbrot si colegii sai nu erau diferiti de matematicienii obisnuiti. Ei lucrau cu formule foarte simple. Idea lor se baza pe iteratie-aplicarea repetata a unei formule. Formula care a generat multimea Mandelbrot este x2+c.

Pentru anumite valori ale lui c, sirul de x-uri ar putea genera tot felul de lucruri ciudate. In multimea Mandelbrot exista o proprietate specifica fractalilor, acea a similaritatii cu ei insisi. Daca privim orice parte a multimii vom observa  copii miniaturale ale multimii Mandelbrot ca de exemplu aici http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs.

Inainte de Mandelbrot. Asa cum se intampla de multe ori in matematica, discoperirile sunt rareori cu totul noi. Mergand inapoi pe firul istoriei Madelbrot a descoperit informatii despre matematicieni cum sunt Henri Poincaré sau Arthur Cayley care au avut curiozitati despre fractali cu sute de ani inaintea lui.

Formele descoperite de primul val de teoreticieni ai fractalilor includeau curbe “incretite” si “curbe monstru”. Acestea nu fusesera luate in seama pana atunci, fiind considerate exemple de curbe patologice. Din acest motiv au fost incuiate in dulapul matematicii fara a fi analizate. Erau apreciate curbele “netede” care puteau fi studiate cu ajutorul calculului diferential. Popularitatea fractalilor a revigorat carierele matematicienilor Gaston Julia si Pierre Fatou, dupa primul razboi mondial. Ei lucrau pe structuri in planul complex, similare fractaliilor. Curbele lor nu se numeau fractali si nici nu aveau echipamentul tehnic adecvat pentru generarea acestor forme. Acum curbele de acest tip pot fi generate de computer, avem aici doua exemple de fractali Julia.

Arta. Fractal art este o forma de arta algoritmica care foloseste fractalii si reprezentarile computerizate pentru a genera imagini, animatii sau  muzica. Artistul britanic William Latham a folosit geometria fractala in operele sale.

Greg Sams a folosit fractalii pentru a crea vederi sau tricouri. Reginald Arkins creaza arta fractala pentru relaxare. Carlos Ginzburg a definit conceptul de “homo fractalus” centrat pe idea ca omul este cel mai reprezentativ exemplu de fractal. Arhitectul spaniol Xavier Vilalta foloseste geometria fractala pentru a aduce inovatii in modul in care se construiesc cladirile eco-friendly.

Alti fractali faimosi. Faimoasa curba Koch este numita dupa matematicianul suedez Niels Fabian Helge von Koch. Curba fulgul de zapada este practic primul fractal. Pentru a crea un fulg Koch, se incepe cu un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat se formeaza un nou triunhghi echilateral exterior. Dupa cateva sute de  iteratii lungimea curbei devine mai mare decat diametrul Universului vizibil.

Proprietatea curioasa a curbei Koch este aria finita, aceasta forma aflandu-se la fiecare iteratie in interiorul unui cerc. La fiecare iteratie lungimea curbei creste, este deci o curba ce margineste o arie finita dar are circumferinta infinita!

Un al fractal faimos este numit dupa matematicianul polonez Wacaw Sierpiski. Se extrag triunghiuri dintr-un triunghi echilateral si continuand acest proces obtinem covorul lui Sierpiski. Acelasi procedeu se poate face si cu patrate. Acest fractal nu are arie dar are un perimetru infinit.

 Buretele Menger este un obiect fractal cu un numar infinit de cavitati descris pentru prima data de matematicianul austriac Karl Menger in 1926. Pentru a construi buretele plecam de la un sub divizat in 27 de cuburi. Eliminam cubul central si cele 6 cuburi care au o fata comuna cu cubul central. Ramanem cu 20 de cuburi. Dupa 6 iteratii avem 64.000.000 de cuburi. Fiecare fata a buretelui Menger este un covor Sierpiski. Cubul are suprafata infinita dar cuprinde un volum egal cu zero!

Aplicatiile fractalilor. Potentialul aplicatiilor fractalilor este larg. Fractalii sunt mediul matematic in care modelam fenomene din natura cum ar fi cresterea plantelor sau formarea norilor.

Fractalii au fost aplicati pentru studierea inmultirii unor organisme marine cum sunt coralii si buretii de mare. Notiunea de dimensiune fractionara este folosita pentru a clasifica formele coralilor (vezi mai jos ce este dimensiunea fractionara).

Extinderea marilor orase are similaritati cu un fractal folosit pentru modelarea cresterii. In medicina exista aplicatii in modelarea activitatii creierului. De asemenea,  a fost investigata natura fractala a fluctuatiei actiunilor pe piata bursiera.

Fizicienii sunt interesati de fractali pentru ca acestia modeleaza fenomene haotice cum ar fi miscarea planetelor, curgerea lichidelor, absorbtia medicamentelor, vibratia aripilor avioanelor (un comportament haotic produce structuri de fractali).

Curbele lui Peano mai sunt numite si “curbe care umplu spatiul”. Astfel de curbe sunt create folosind un proces interactiv care produce o curba in zigzag ce acopera intreg spatiul in care se afla. Un matematician American a folosit curbele Peano pentru a realiza un sistem eficient de distributie pentru o organizatie care livreaza alimente oamenilor saraci si un sistem de distributie al sangelui de catre Crucea Rosie catre spitale. Mai jos avem un exemplu de curba care umple planul si o curba care umple spatiul.

O alta persoana interesata de fractali a fost artistul olandez M. C. Escher ale carui desene pare ca sunt inspirate de curbele lui Peano.

Dimensiune fractionara. Felix Hausdorff a privit dimensiunea dintr-un punct de vedere inovator, legat de proportii. Daca lungimea unei linii creste proportional cu 3 atunci va fi de trei ori mai lunga decat era initial. Deoarece 3=31 spunem ca linia are dimensiunea 1. Daca lungimea laturii unui patrat creste proportional cu 3 atunci aria devine de 9 ori mai mare sau 32 deci dimensiunea este 2. Marind latura unui cub proportional cu 3 volumul devine 27 sau  de 33 ori mai mare decat valoarea initiala, deci dimensiunea este 3. Aceste valori are dimensiunii Hausdorff concid cu asteptarile noastre privind dimensiunea liniei, patratului sau cubului.

Daca unitatea de baza a fulgului lui Koch creste proportional cu 3 atunci devine de 4 ori mai lunga decat era initial. Folosing argumentul de mai sus, dimensiunea Haurdorff este valoarea D pentru care 4=3D. Calculand,

D= log4/log3

In consecinta valoarea D a curbei Koch este de aproximativ 1,262. Pentru fractali este frecventa  o dimensiune Hausdorff mai mare decat dimensiunea obisnuita,  de valoare 1 in cazul fulgului Koch.

Dimensiunea Hausdorff a influentat definitia Madelbrot pentru fractali- o multime de puncte a carei valoare D nu este numar intreg. Dimensiunea fractionara a devenit o proprietate esentiala a fractalilor.

Triunghiul lui Sierpiski este  “indecis” intre a fi o linie sau un plan. In timp de linia are dimensiune 1 si planul are dimensiune 2, covorul Sierpiski are dimensiune “fractionala” 1,89. Buretele Menger are o dimensiunea cuprinsa intre un plan si un solid de aproximativ 2,73.

1.  The Maths Book, Clifford A. Pickover

2.  50 Mathemathical Ideas You Really Need to Know, Tony Crilly

3. The Fractal Geometry of Nature, Benoit B. Mandelbrot

4. http://www.ceticismoaberto.com/ciencia/2139/fractais-uma-nova-viso-da-natureza

5. http://www.marcelodalla.com/2012/03/o-que-e-fractal.html

6. http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_art

7. http://mandalamystica.com.br/index.php/mandalas-e-os-fractais/