O lume plina de paradoxuri

Sa ne imaginam un hotel cu 500 de camere, din care toate sunt ocupate. Ti se spune ca nu sunt locuri libere. Sa ne mai imaginam un hotel cu un numar infinit de camere si acestea toate ocupate. Desi hotelul este plin, receptionerul iti poate da o camera. Cum este posibil? Mai tarziu soseste un grup infinit de vizitatori si receptionerul reuseste sa gaseasca o camera pentru fiecare dintre ei. Matematica este plina de astfel de paradoxuri si voi descrie in continuare cateva dintre ele.

Hilbert a formulat acest paradox in 1920 pentru a ilustra proprietatile misterioase ale infinitului. Iata cum se gaseste o camera si pentru tine in hotelul lui Hilbert. Receptionerul poate muta oaspetele din camera 1 in camera 2, pe cel din camera 2 in camera 3 si asa mai departe. Pentru a gasit loc pentru grupul infinit de turisti, oaspetii care au deja camere sunt mutati in camere cu numar par, camera 1 in camera 2, camera 2 in camera 4, camera 3 in camera 6 astfel eliberandu-se un numar infinit de camere, cele cu numar impar. Intr-un hotel normal numarul de camere cu numar impar este mai mic decat numarul total de camere in timp ce intr-un hotel “infinit”, “numarul” de camere cu numar impar nu este mai mic decat “numarul” total de camere.

Un alt paradox dificil de inteles este unul dintre paradoxurile lui Zeno care sugereaza ca miscarea este imposibila sau este o iluzie. Paradoxul ii are ca protagonisti pe Ahile, eroul grec si o broasca testoasa. In timpul unei intreceri, Ahile nu va putea intrece niciodata broasca testoasa daca aceasta din urma are un mic avans la start. Paradoxul ne spune ca teoretic nu puteti iesi niciodata din camera in care sunteti. Pentru a ajunge la usa este nevoie sa parcurgeti jumatate din distanta, apoi jumatate din distanta ramasa si tot asa, jumatate din jumatate, nu veti putea ajunge la usa intr-un numar finit de pasi! In matematica se considera ca intre doua puncte exista un numar infinit de puncte. Cum putem parcurge o distanta finita trecand printr-un numar infinit de puncte?

In 1901, matematicianul si filozoful Bertrand Russel a formulat un paradox care a modificat teoria multimilor. O versiune este paradoxul barbierului. Barbierul satului anunta ca el va barbieri numai pe cei care nu se barbieresc singuri. Apare o intrebare: ar trebui el sa se barbiereasca pe el insusi? Daca nu se barbiereste atunci ar trebui. Daca se barbiereste atunci nu ar trebui.

Betrand Russel a venit cu ideea unei multimi S care sa contina toate lucrurile care nu se contin pe ele insele. El s-a intrebat apoi “se poate ca S  sa fie element in S”? Daca raspunsul este “da“ atunci S trebuie sa satisfaca definitia lui S, deci S apartine lui S. Pe de alta parte, daca raspunsul este “nu” i S nu apartine lui  S, atunci S nu satisface definitia lui deci S  apartine lui S. Intrebarea lui Russel s-a finalizat cu aceasta afirmatie, paradoxul lui Russel: S  apartine lui S daca i numai daca S nu apartine lui  S.

 

O alta problema care a intrigat mereu matematicienii este paradoxul zilelor de nastere. Sa ne imaginam o camera  in care intra pe rand oameni. De cati oameni este nevoie pentru o probabilitate de 50% ca doi dintre ei sa aiba aceiasi zi de nastere?

 

Solutia la aceasta problema formulata in 1939 de matematicianul Richard von Mises este contraintuitiva pentru multi dintre noi. Este nevoie doar de 23 de oameni. Cu alte cuvinte, daca 23 sau mai multi oameni se afla in acelasi loc, probabilitatea este foarte mare ca doi sa aiba aceiasi zi de nastere. Pentru 57 de oameni, probabilitatea este de mai mult de 99%.

Natura paradoxala aparenta a problemei provine de la limbaj. Problema este o afirmatie despre doua persoane cu aniversarea comuna dar nu ne spune exact care sunt acele persoane. Nu stim pentru ce persoane se intampla sincronizarea zilelor de nastere.

 

Daca domnul Goe este in camera si ziua de natere este 8 martie, atunci problema se pune altfel. Ar trebuie sa fie 254 de persoane in aceiasi camera pentru a fi siguri ca macar unul are aceiasi zi de nastere cu domnul Goe. Aceasta problema a fost generalizata in mai multe moduri. O abordare ar fi considerarea a trei oameni cu aniversarea comuna. In acest caz ar fi nevoie de 88 de oameni pentru a avea sanse considerabile pentru trei aniversari simultane. Numarul de persoane din grup creste pentru a avea patru, cinci, etc persoane cu aniversarea comuna. Intr-o adunare de 1000 de oameni, sansele de a avea noua persoane cu aceiasi zi de nastere sunt considerabile.

O varianta a problemei care necesita instrumente matematice mai sofisticate este problema aniversarilor pentru baieti si fete. Daca intr-o clasa numarul fetelor este egal cu numarul baietilor, care este numarul minim de persoane intr-un grup cu  sanse considerabile de a avea un  baiat si o fata cu aceiasi zi de nastere? Raspunsul este o clasa de minim 32 de elevi (16 fete si 16 baieti). Acest numar este echivalent cu numarul 23 in problema clasica.

Schimband un pic intrebarea obtinem alte noutati (dar nu sunt usor de rezolvat). Avem o coada lunga la un concert al lui Leonard Cohen, oamenii vin in mod aleatoriu. Interesati fiind de aniversari, putem elimina posibilitatea sosirii unor gemeni sau tripleti. Pe masura ce intra, fanii sunt intrebati despre ziua de nastere. Intrebarea matematica este: cati oameni ar trebui sa soseasca inainte de a avea doua persoane consecutive cu aceiasi zi de nastere? Alta intrebare: cati oameni intra la concert inainte de a avea o persoana  cu aniversarea simultana cu domnului Goe (8 martie)?

Un alt paradox foarte bizar a fost formulat de matematicienii polonezi Banach si Tarski in 1924. Paradoxul care este de fapt o demostratie arata cum este posibil sa luam o reprezentare matematica a unei mingi, sa o spargem in cateva bucati si apoi sa rearanjam bucatile pentru a obtine doua copii identice ale  mingii initiale. Mai mult, se poate descompune un bob de mazare si  bucatile se pot reasambla pentru a obtine o minge de dimensiunea Lunii. In 1947, Robinson a aratat ca numarul minim de bucati este de 5.

 

Acest paradox ne arata ca anumite cantitati masurabile din universul fizic nu se pastreaza de exemplu in cazul unei sfere definita de matematicieni si care contine un numar infinit de puncte. Mingea  este taiata si rearanjata in alt mod folosind translatii si rotatii. Bucatile despre care vorbim sunt foarte complicate si contorsionate si nu au volumul si frontiera  cum au obictele din  lumea reala.

 

Bibliografie

 

1.  The Maths Book, Clifford A. Pickover

2.  50 Mathemathical Ideas You Really Need to Know, Tony Crilly

3. http://www.mathcs.org/analysis/reals/history/zeno.html