Raportul de aur in lumea contemporana

 

Raportul de aur sau  numarul de aur,φ, a fost descoperit de Euclid acum peste doua mii de ani si apare in cele mai neobisnuite situatii matematice sau mai putin matematice. Numarul de aur defineste forma cochiliei de nautilus, aranjamentul semintelor din floarea soarelui, numarul spiralelor de pe coaja ananasului, formele galaxiilor etc.

 

Raportul de aur se regaseste printre altele in opere de arta (Leonardo Da Vinci, Dali), in logourile unor  cunoscute branduri (National Geographic, Apple, Toyota, Pepsi etc.) sau chiar in formatul imaginii de televizor.

 

Vom vedea cum se obtine acest raport si ce este dreptunghiul de aur,  apoi vom face legatura cu sirul lui Fibonacci si vom exemplifica aparitia numarului de aur in viata de zi cu zi sub formele cele mai neasteptate.

Ce este raportul de aur?

Sa facem putina geometrie. Avem nevoie de un segment si de un punct care imparte segmentul intr-un raport dat. Raportul cautat trebuie sa fie astfel incat segmentul mai mare sa fie pentru segmentul mai mic ceea ce intregul segment este pentru segmentul mai mare.

Am obtinut o proportie al carei coeficient de proportionalitate este numarul irational φ. Vorbim de un numar irational, ceea ce inseamna ca valoarea nu ii este cunoscuta cu precizie, deci nici punctul cautat nu poate fi localizat cu exactitate, stim doar ca el exista si imparte segmentul in raportul de aur. Acest numar poate fi aproximat cu numarul rational 1,618.

Dreptunghiul de aur

Plecand de la acest raport se poate construi dreptunghiul de aur. Studiile au aratat ca acest dreptunghi, in care raportul dintre lungime si latime este aproximativ 1, 618, este considerat cel mai frumos dreptunghi. Poate de aceea National Geographic a ales ca logo un dreptunghi de aur.

 

Deoarece obiectele care contin acest raport sunt considerate mai armonioase si mai frumoase, acest raport apare de foarte multe ori in arhitectura, muzica, reclame, natura etc. In exemplele de mai jos deschiderea mica are o unitate si deschiderea mare 1, 618 unitati.

Numarul de aur are numeroase exprimari matematice interesante, de exemplu  folosind o fractie continua sau un numar infinit de radicali.

Care este legatura intre raportul de aur si sirul lui Fibonacci?

Leonardo din Pisa, cunoscut si sub numele de Fibonacci a fost un negustor venetian si un foarte talentat matematician. In anul 1202 a publicat Liber Abacci, carte care a introdus numerele arabe  si sistemul zecimal in Europa. Acest sistem s-a raspandit rapid in toata lumea si este folosit pana azi, oferind solutii unor situatii matematice pe care sistemul de numeratie roman, folosit pana in acel moment, nu le mai putea acoperi.

In aceasta carte apare si celebrul sir al lui Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 54, 87, ….

Primii termeni ai sirului sunt 1 si 1 iar apoi fiecare termen este suma celor doi termeni care ii preceda. Daca facem raportul termenilor succesivi din sirul lui Fibonacci vom obtine un alt sir care converge la numarul de aur.

Exista estimari ca 90% din plante contin prin diferitele lor caracteristici numere din sirul lui Fibonacci. De exemplu, acest con contine doua seturi de spirale dupa criteriul directie. In ambele cazuri, numarul de spirale este un numar din sirul lui Fibonacci.

Cum construim dreptunghiul de aur cu sirul lui Fibonacci?

 Desenam doua patrate cu latura  de 1 unitate si obtinem un dreptunghi cu lungimea de 2 unitati. Adaugam un patrat cu latura de 2 si acum avem un alt dreptunghi cu lungimea de 3 unitati. Continuam sa desenam un patrat cu lungimea de 3 unitati si avem acum un dreptunghi cu lungimea de 5 unitati. Dreptunghiurile astfel construite genereaza un sir de rapoarte dintre lungime si latime care converge la numarul de aur, phi. Spirala obtinuta se numeste spirala logaritmica si se regaseste, spre exemplu, pe cochilia de nautilus.

 

Nature by numbers este un filmulet bine realizat, legatura dintre raportul de aur si numerele Fibonacci fiind foarte sugestiva.

http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

Ochiul lui Dumnezeu

Sa plecam de aceasta data cu un dreptunghi despre care stim ca este de aur, adica raportul dintre lungime si latime este φ≈1,618.  Acest dreptunghi poate fi impartit intr-un patrat si un alt dreptunghi de aur. Procedeul poate fi continuat la infinit obtinand mereu dreptunghiuri de aur.

 

Daca desenam diagonalele dreptunghiurilor, intersectia tuturor diagonalelor ne arata punctul catre care converg dreptunghiurile de aur ce devin ce in ce mai mici. Lungimile diagonalelor a doua dreptunghiuri succesive se afla in raportul de aur. Punctul catre care converg dreptunghiurile de aur se mai numeste “ochiul lui Dumnezeu”.

Dreptunghiul de aur este singurul dreptunghi din care dupa taierea unui patrat se obtine un alt dreptunghi de aur.

Acest dreptunghi pare ca e influentat semnificativ vanzarile de ipoduri dupa ce Apple a schimbat forma de la un dreptunghi obisnuit la dreptunghiul de aur.

 

Pentru mai multe exemple in care logourile celebre au la baza un design realizat cu ajutorul dreptunghiului de aur puteti accesa urmatorul link:

http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logo-designs/

Poate ati observat ca imaginea televizorului apare sub diferite formate, spre exemplu, 4:3 sau 16:9. Dintre cele doua, se pare ca cea mai placuta ochiului este 16:9, poate pentru ca 16:9 este un numar mai aproape de numarul de aur decat 4:3, numarul 1,(7) fiind mai aproape de 1, 618 decat 1, (3).

Raportul de aur este continut sub foarte multe forme in aproape orice domeniu la care ne putem gandi. Pentru a afla si mai multe informatii despre prezenta acestui numar in viata de zi cu zi puteti accesa linkurile de la bibliografie.

 

 

 

Bibliografie

1.  The Maths Book, Clifford A. Pickover

2.  50 Mathemathical Ideas You Really Need to Know, Tony Crilly

3. The Glorious Golden Ratio, Alfred S. Posamentier si Ingmar Lehmann

4. http://www.banskt.com/blog/golden-ratio-in-logo-designs/

5. http://rouleauc.blogspot.com/2009/04/more-you-know-golden-ratio.html

6. http://www.friesian.com/golden.htm

7. http://www.mathsisfun.com/numbers/golden-ratio.html

8. http://www.facialbeauty.org/divineproportion.html

9.         http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fib.html

10. http://www.jimloy.com/algebra/fibo.ht

11. http://body-without-organs.deviantart.com/art/Golden-Ratio-a-go-go-8715099