Fermat Riemann- Ce mai este de cercetat in matematica?

Putem aduna doua numere patrate pentru a obtine un al treilea numar patrat. De exemplu, 52+122=132. Dar putem aduna doua cuburi (numere la puterea a treia) pentru a obtine un cub? In mod remarcabil nu putem. Demonstrarea acestei afirmatii a durat 358 de ani si s-a intamplat datorita unui baiat de 10 ani care a citit intr-o zi la biblioteca despre aceasta vanatoare de comori matematica. Ipoteza Riemann reprezinta una dintre cele mai incapatanate provocari ale matematicii pure iar confirmarea ei va afecta modul in care sunt criptate si securizate datele pe internet.

De mult ori intalnesc oameni care ma intreaba cu ce ma ocup. Dupa ce le raspund, invariabil, sunt intrebata: “dar ce mai este de cercetat in matematica”? Ultima data aceasta intrebare a venit de la un director financiar al unei companii americane care face cercetare in domeniul chimiei. I se parea normal ca in chimie sa existe “ceva” de cercetat dar in matematica nu. Asadar, m-am gandit sa povestesc despre doua probleme matematice celebre, una rezolvata  cu ceva timp in urma si o problema inca nerezolvata care are legatura cu viata noastra de zi cu zi. Recent am fost la un seminar tinut de un medaliat Fields (echivalentul premiului Nobel in matematica) in care am vazut cum metode ale geometriei diferentiale (ramura foarte mare in matematica) sunt folosite in incercarea de a trata boli cum sunt Alzheimerul si schizofrenia, printre altele.

Teorema lui Fermat

Ecuatia x2+y2=z2 are legatura cu triunghiurile. Daca x, y si z reprezinta lungimile celor trei laturi ale triunghiului dreptunghic atunci ele satisfac ecuatia. Invers, daca x, y si z satisfac ecuatia atunci unghiul dintre laturile x si y este drept. Din cauza asocierii cu teorema lui Pitagora valorile solutie x, y si z se numesc numere pitagoreice.  De exemplu, 3, 4 si 5 sunt numere pitagoreice.

Exista si alte numere integi care constituie o solutie pentru ecuatia x2+y2=z2. De exemplu valorile x=5, y=12 si z=13 reprezinta o alta solutie deoarece 52+122=132. De fapt exista o infinitate de solutii pentru aceasta ecuatie. Solutia x=3, y=4 si z=5 are un loc aparte din moment ce este “cea mai mica” solutie si este singura compusa din numere intregi consecutive. Exista multe solutii cu numere intregi cum ar fi x=20, y=21 si z=29 sau x=9, y=40 si z=4, dar nu mai gasim alta cu toate cele trei numere consecutive.

Trecerea de la ecuatia x2+y2=z2 la ecuatia x3+y3=z3 nu pare sa necesite un efort. Ecuatia   x3+y3=z3 are o infinitate de solutii dar pentru ecuatia  x3+y3=z3 solutiile sunt imposibil de gasit. Mai mult, lipsa unei astfel de solutii a dus la formularea ultimei teoreme a lui Pierre de Fermat (matematician francez 1601-1665):

Nu exista o solutie in numere intregi  pentru ecuatia xn+yn=zn  unde n este mai mare decat 2.

 

Fermat a rezolvat multe probleme remarcabile dar se pare ca ultima sa teorema nu este una dintre ele. Fermat a demonstrat-o, sau cel putin asa a crezut, si a scris in copia sa a Aritmeticii lui Diofant: “Am descoperit o demonstratie cu adevarat minunata, dar marginea paginii este prea mica pentru ea”.

 

Teorema a tinut ocupate legiuni intregi de matematicieni peste trei sute de ani si a fost demonstrata abia recent. Aceasta demonstratie nu ar fi incaput pe nici o margine de carte si tehnicile modere necesare pun la indoiala afirmatia lui Fermat. De-a lungul anilor, au fost primite si verificate peste 5000 de demonstratii,  dar toate s-au dovedit gresite.

Matematicianul englez Andrew Wiles a citit despre aceasta problema cand avea 10 ani. A fost intrigat de faptul ca desi problema avea o formulare atat de simpla nimeni nu reusise sa o rezolve, asadar si-a propus sa fie primul sa gaseasca o demonstratie.

 

Si-a dedicat peste 20 de ani din viata demonstrarii acestei teoreme. Prima demonstratie publica s-a dovedit a avea o mica greseala ceea ce a fost o lovitura puternica pentru Wiles. El a comparat gasirea unei demonstratii cu escaladarea Everestului, daca un alpinist renunta cu 30 de metri inainte de varf, inseamna ca nu a escaladat Everestul. Exista acum o presiune imensa asupra lui Wiles. Acesta s-a retras din activitatile sale obisnuite si a lucrat fara oprire. Multi au crezut ca Wiles se va alatura oamenilor aproape pierduti.

Cu ajutorul colegilor, Wiles a fost capabil sa repereze greseala si sa  substituie un rationament corect. De aceasta data i-a convins pe experti si a demonstrat teorema. Demonstratia a fost publicata in anul 1995, Wiles devenind astfel o celebritate in matematica.

Timp de peste 300 de ani, matematicienii au incercat prin diferite metode sa demonstreze aceasta teorema. Demonstratia a presupus inventarea unor noi ramuri ale matematicii si au fost evidentiate legaturi intre domenii care aparent nu aveau nici o legatura, imbogatind semnificativ matematica moderna.

Ipoteza Riemann si numerele prime

Ipoteza Rieman reprezinta una dintre cele mai incapatanate provocari ale matematicii pure. Aceasta ipoteza a fost formulata de matematicianul Bernhard Riemann in 1854. Este una din cele 7 probleme de „un milion de dolari“ propuse de Institutul Clay (Millenium Prize Problems). In anul 1900, David Hilbert a formulat celebrele sale 23 de probleme propuse spre rezolvare matematicienilor din generatiile viitoare. La a opta problema comentariul sau a fost: “ daca as dormi si m-as trezi dupa 500 de ani, prima mea curiozitate ar fi daca a fost demonstrata sau nu ipoteza Riemann”.

Istoria acestei ipoteze incepe cu adunarea fractiilor de tipul:

 

Raspunsul este 1X5/6 (aproximativ 1,83). Dar ce se intampla daca adunam fractii din ce in ce mai mici, sa zicem 10 fractii de acest fel?

 

Folosing un calculator de buzunar rezultatul adunarii fractiilor este aproximativ 2,9.

Seria numerelor

 

se numeste seria armonica. Numele “armonica” isi are originea la discipolii lui Pitagora care credeau ca o coarda muzicala impartita la jumatate, la o treime, o patrime, contine notele muzicale esentiale armoniei muzicale.

In seria armonica se adauga fractii din ce in ce mai mici, dar ce se intampla cu rezultatul adunarii? Creste acesta dincolo de orice numar sau exista o limita care nu este depasita niciodata?

Suma termenilor creste foarte incet, dar daca alegem un numar oricat de mare gasim mereu un n astfel incat suma primilor n termeni este mai mare decat numarul dat. Spunem ca seria diverge la infinit. Prin contrast, acest lucru nu este adevarat pentru seria patratelor termenilor:

 

Folosim acelasi procedeu de adunare a unor numere din ce in ce mai mici, dar de aceasta data avem o limita si aceasta limita este mai mica decat 2. In mod dramatic seria converge la numarul

 

In aceasta serie puterea termenilor este 2. In seria armonica puterea numitorul este 1 si aceasta valoare este critica. Daca puterea 1 creste cu un numar oricat de mic atunci seria converge dar daca scadem un numar oricat de mic obtinem o serie divergenta. Seria armonica se afla la granita dintre convergenta si divergenta.

Functia zeta Riemann.

Celebra functie a lui Riemann, , era cunoscuta de Euler in secolul al optsprezecelea, dar Bernhard Riemann i-a recunoscut adevarata

importanta. Zeta este litera greceasca ,  iar functia este

 

Au fost calculate diferite valori pentru functia zeta si cea mai cunoscuta este z(1)=µ deoarece z(1) este seria armonica. Valoarea z(2) este , rezultat demonstrat de Euler.

Ipoteza Riemann.

Variabila s din functia zeta Riemann este o variabila reala, dar poate fi reprezentata si ca o variabila complexa. Numerele complexe sau numerele imaginare sunt numerele care contin o parte reala si o parte imaginara, de exemplu 3+2i, . Fiecarui numar complex ii corespunde un punct in plan, de exemplu numarului 3+2i ii corespunde punctul de coordonate (3,2).

 

Functia zeta Riemann are o infinitate de zerouri, altfel spus, exista o infinitate de valori s pentru care z(s)=0. Intr-un articol prezentat academiei din Berlin in 1859, Riemann a aratat ca toate zerourile importante sunt numere complexe din banda critica marginita de valorile x=0 si x=1.

De asemeni, el a formulat faimoasa ipoteza:

Toate zerourile functiei zeta Riemann  se afla pe linia x= 1/2linie care injumatateste banda critica.

 

Din punct de vedere numeric, zerourile non-triviale calculate pana in 1986 (1,500,000,000 de zerouri) se gasesc pe linia x= 1/2, iar calcule recente au verificat ipoteza pentru primele 100 de miliarde de zerouri. In fiecare zi, peste un milliard de zerouri ale functiei zeta sunt calculate de peste 11, 000 de voluntari care folosesc site-ul Zetagrid.net.

Desi aceste rezultate experimentale sugereaza validitatea ipotezei, exista totusi posibilitatea ca aceasta sa fie falsa. Conjectura plaseaza toate zerourile pe aceasta linie critica, dar ipoteza inca asteapta o demonstratie care sa o confirme sau sa o infirme.

De ce este importanta ipoteza Riemann?

Exista o legatura surprinzatoare intre functia zeta Riemann z(s) si teoria numerelor prime. Numerele prime sunt 2, 3, 5, 7, 11 si asa mai departe, numere divizibile numai prin 1 si ele insasi. Studiul functiei zeta Riemann va lamuri problema distributiei numerelor prime si va oferi posibilitate unei mai bune intelegeri asupra conceptelor fundamentale pe care este construita matematica.

Criptarea cu cheie publica este folosita pentru securizarea informatiilor mai ales pe internet. Acest tip de criptare se bazeaza pe algoritmul RSA si foloseste procedeul foarte dificil de descompunere in factori  primi al unor numere foarte mari. Odata confirmata ipoteza Riemann, acest tip de criptare a datelor nu va mai fi la fel de sigur. Nerezolvarea unei probleme matematice extrem de dificile ne face sa stam mai linistiti, cel putin cu privire la mailurile pe care le scriem in fiecare zi sau la tranzactiile financiare de pe internet. Odata confirmata aceasta ipoteza, securizarea informatiilor nu va mai fi niciodata la fel de sigura si vor trebui gasite alte modalitati de a proteja informatiile.

De asemeni, se pare ca studiul ipotezei Riemann a stabilit o legatura importanta intre teoria numerelor si fizica cuantica.

 

O alte situatie in care aceasta problema a ajutat pe cineva este urmatoarea. Matematicianul Hardy a folosit sub forma de asigurare ipoteza Riemann atunci cand a traversat marea Nordului, dupa ce l-a vizitat pe Harald Bohr in Danemarca. Inainte de a pleca, a trimis prietenului sau o vedere in care zicea ca a demonstrat ipoteza Riemann. A fost o modalitate inteligenta de a-si asigura viata. Daca vasul s-ar fi scufundat ar fi primit postmostem laude pentru rezolvarea unei probleme importante. Pe de alta parte, daca Dumnezeu exista, nu ar fi lasat un ateu sa primeasca astfel de laude nemeritate, deci ar fi impiedicat vasul sa se scufunde.

 

 

 

Bibliografie

1.  The Maths Book, Clifford A. Pickover

2.  50 Mathemathical Ideas You Really Need to Know, Tony Crilly

3. Fermat’s Last Theorem, Simon Singh

4. http://en.wikipedia.org/wiki/RSA_%28algorithm%29

5. http://www.zetagrid.net/

6. http://www.di-mgt.com.au/rsa_alg.html